Найдите точку максимума и точку минимума функции y=f(x),если известно ,что f'(x)=x^2-5x+6

Чтобы найти точки экстремума функции (то есть точки минимума и точки максимума), нужно:

• найти производную функции,
• найти нули производной (то есть приравнять ее к нулю и найти корни уравнения),
• с помощью числовой прямой определить знаки производной: когда функция возрастает, то производная положительна, когда функция убывает, то производная отрицательна,
• определить точки минимума и максимума: если функция возрастала и в определенной точке начала убывать, то это точка максимума, а если наоборот - то это точка минимума.

Производная уже известна f\'(x) = x² - 5x + 6.

Найдем нули производной функции

f\'(x) = 0

x² - 5x + 6 = 0

Получилось квадратное уравнение, найдем корни уравнения через дискриминант.

x² - 5x + 6 - квадратичная функция, ветви вверх.

а = 1, в = -5, с = 6.

D = в² - 4ас = (-5)² - 4 * 1 * 6 = 25 - 24 = 1 (кв.корень равен 1)

х₁ = (5 + 1)/2 = 6/3 = 3

х₂ = (5 - 1)/2 = 4/2 = 2

Определяем знаки производной

Отмечаем на координатной прямой точки 2 и 3, схематически рисуем параболу (ветви вверх), подписываем знаки на каждом промежутке, стрелками показываем, как ведет себя функция на каждом промежутке.

(- бесконечность; 2) знак плюс, функция возрастает.

(2; 3) знак минус, функция убывает.

(3; + бесконечность) знак плюс, функция возрастает.

То есть точка 2 является точкой максимума, а точка 3 - точкой минимума.

Ответ: х_min = 3, x_max = 2.

Точки, в которых производная равна нулю, являются точками экстремумов функции. Найдем эти точки и определим точки максимума и минимума.x^2 - 5x + 6 = 0;D = b^2 - 4ac;D = (- 5)^2 - 4 * 1 * 6 = 25 - 24 = 1; √D = 1;x = (- b ± √D)/(2a);x1 = (5 + 1)/2 = 6/2 = 3;x2 = (5 - 1)/2 = 4/2 = 2.Точка максимума это точка в которой функция меняет возрастание на убывание, а точка минимума - это точка, в которой функция меняет убывание на возрастание. Функция возрастает на тех промежутках, где ее производная положительна, и убывает - где ее производная отрицательна.Отметим точки 2 и 3 на числовой прямой. Они разделят прямую на три промежутка: 1) (- ∞; 2), 2) (2; 3), 3) (3; + ∞). Проверим, какой знак имеет производная x^2 - 5x + 6 на каждом промежутке.На 1 и 3 промежутках производная принимает положительные значения, а на 2 промежутке - отрицательные. Значит, на 1 и 3 промежутках функция возрастает, а на 2 промежутке - убывает. См. рис. http://bit.ly/2wfdf7oЗначит точка х = 2 - точка максимума, а х = 3 - точка минимума.Ответ. хmax = 2; xmin = 3.