Что такое квадратное уравнение.

Что такое квадратное уравнение

Уравнение вида ax² + bx + c = 0 называется квадратным.

Если коэффициент при х² равен 1 (a = 1), то уравнение называется приведенным квадратным уравнением.

Решение квадратного уравнения

Квадратное уравнение решается при помощи дискриминанта.

Дискриминант вычисляется по формуле:

D = b² - 4ac.

Далее вычисляются корни уравнения, при этом если:

• D > 0, то уравнение имеет два корня, которые вычисляются по формулам: х₁ = (-b + √D) / 2a и х₂ = (-b - √D) / 2a;
• D = 0, то уравнение имеет один корень, значение которого вычисляется по формуле: х = -b / 2a;
• D < 0, то уравнение не имеет решений.

 

Приведенное квадратное уравнение можно решить по теореме Виета, которая гласит, что сумма корней приведенного квадратного уравнения равна значению коэффициента b, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно значению коэффициента c:

х₁ + х₂ = -b,

х₁ * х₂ = c.

Примеры решения квадратных уравнений

1) Решим квадратное уравнение х² - 8х - 20 = 0 с помощью дискриминанта.

D = (-8)² - 4 * 1 * (-20) = 64 + 80 = 144.

Так как D > 0, то уравнение имеет два корня.

х₁ = (-(-8) + √144) / 2,

х₁ = (8 + 12) / 2,

х₁ = 20 / 2,

х₁ = 10;

х₂ = (-(-8) - √144) / 2,

х₂ = (8 - 12) / 2,

х₂ = -4 / 2,

х₂ = -2.

Ответ: х₁ = 10, х₂ = -2 — корни уравнения.

 

Решим это же уравнение с помощью теоремы Виета:

х₁ + х₂ = 8,

х₁ * х₂ = -20.

Подбором находим:

10 - 2 = 8,

10 * (-2) = -20,

значит, х₁ = 10, х₂ = -2.

 

2) Решим уравнение х² - 10х + 25 = 0.

Вычислим дискриминант:

D = (-10)² - 4 * 1 * 25 = 100 - 100 = 0.

Так как D = 0, то уравнение имеет один корень.

х = -(-10) / 2 = 10 / 2 = 5.

Ответ: х = 5 — корень уравнения.

Квадратным уравнением называется алгебраическое уравнение вида ax^2 + bx + c = 0,где x — переменная, а a, b, c — коэффициенты, каждый из которых имеет свое название:a называют первым или старшим коэффициентом,b называют вторым, средним или коэффициентом при x,c называют свободным членом.Квадратные уравнения решаются с помощью определенной формулы:(-b^2 +- sqrt D) : 2 * a, гдеD - дискриминант, от него зависит, сколько корней будет иметь уравнение. При его положительном значении корней будет два, если D = 0, - один, а если D<0 то уравнение не имеет корней.Sqrt - квадратный корень.Часто квадратное уравнение имеет два корня, каждый из которых находится либо прибавлением, либо вычитанием дискриминанта (+-).