В треугольнике АВС угол С равен 90, АС=36, ВС =10,5. Найдите радиус вписанной окружности

Если в треугольнике есть прямой угол (угол С равен 90 градусов), то это прямоугольный треугольник. Радиус вписанной окружности вычисляется по формуле r = √(((p - a)(p - b)(p - c))/p), где р = (a + b + c)/2; a, b, c - стороны треугольника.АС и ВС - это катеты, АВ - гипотенуза; найдем гипотенузу по теореме Пифагора: Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов;АВ^2 = АС^2 + ВС^2;АВ^2 = 36^2 + 10,5^2 = 1296 + 110,25 = 1406,25;АВ = 37,5.р = (36 + 10,5 + 37,5)/2 = 84/2 = 42;r = √(((42 - 36)(42 - 10,5) (42 - 37,5))/42) = √((6 * 31,5 * 4,5)/42) = √(850,5/42) = √20,25 = 4,5.Ответ. 4,5.

Данный треугольник АВС является прямоугольным (по условию угол С равен 90 градусов). АС = 36, ВС = 10,5. Значит, для определения третьей стороны - гипотенузы, противолежащей прямому углу - можно применять теорему Пифагора.

Теорема Пифагора

1. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух катетов - сторон, прилежащих к прямому углу.
2. АВ^2 = АС^2 + ВС^2.
3. АВ^2 = 36^2 + 10,5^2 = 1296 + 110,25 = 1406,25.
4. Гипотенуза АВ = 1406,25^(1/2) = 37,5.

Радиус вписанной окружности

Искомую величину можно вычислить по формуле:

r = ((p - AB)(p - BC)(p - AC)/p)^(1/2),

где р = (AB + BC + AC)/2 - полупериметр треугольника АВС.

Полупериметр  треугольника АВС равен р = (37,5 + 10,5 + 36)/2 = 84/2 = 42.

Таким образом, радиус окружности, лежащей внутри треугольника АВС и касающейся всех его сторон, составляет:

r = ((42 - 37,5)(42 - 10,5)(42 - 36)/42)^(1/2) = (4,5 * 31,5 * 6/42)^(1/2) = (850,5/42)^(1/2) = (20,25)^(1/2) = 4,5.

Ответ: радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник АВС, составляет 4,5 линейных единиц.