Как решить уравнение:7^x+1+3*7^x=2^x+5+3*2^x

Решим уравнение:

7^{x + 1} + 3 * 7^x = 2^{x + 5} + 3 * 2^x.

Упростим левую часть уравнения

Рассмотрим левую часть:

• воспользуемся свойством степеней a^x * b^x = (ab)^x;
• вынесем за скобки общий множитель 7^х;
• 7^{x + 1} + 3 * 7^x = 7^x (7¹ + 3) = 7^x (7 + 3) = 10 * 7^x.

Упростим правую часть уравнения

Рассмотрим правую часть:

• воспользуемся свойством степеней a^x * b^x = (ab)^x;
• вынесем за скобки общий множитель 2^х;
• 2^{x + 5} + 3 * 2^x = 2^x (2⁵ + 3) = 2^x (32 + 3) = 35 * 2^x.

Вернемся к уравнению

Подставим в исходное уравнение:

10 * 7^x = 35 * 2^x.

Разделим обе части уравнения на 5:

2 * 7^x = 7 * 2^x.

Преобразуем уравнение

Составим пропорцию:

7^x / 7 = 2^x / 2.

• Упростим левую часть: 7^x / 7 = 7^{х – 1}.
• Упростим правую часть: 2^x / 2 = 2^{х – 1}.
• Получим: 7^{х – 1} = 2^{х – 1}.

Перенесем все в левую часть:

7^{х – 1} / 2^{х – 1} = 1.

Рассмотрим левую часть: воспользуемся свойством степеней a^x / b^x = (a/b)^x.

(7/2)^{х – 1} = 1.

Представим правую часть в виде степени числа 7/2:

1 = (7/2)⁰.

Получим:

(7/2)^{х – 1} = (7/2)⁰.

Т.к. основания степеней равны, то и показатели тоже должны быть равны:

х – 1 = 0.

Решим полученное уравнение:

х = 1.

Ответ: х = 1.

Проверка

Произведем проверку: подставим найденный корень х = 1 в исходное уравнение:

• 7^{1 + 1} + 3 * 7¹ = 2^{1 + 5} + 3 * 2¹,
• 7² + 3 * 7 = 2⁶ + 3 * 2,
• 49 + 3 * 7 = 64 + 3 * 2,
• 49 + 21 = 64 + 6,
• 70 = 70.

Равенство верное, значит корень найден верно.

7^(x + 1) + 3 * 7^x = 2^(x + 5) + 3 * 2^x;Выносим за скобки общие множители.7^x * (7 + 3) = 2^x * (2^5 + 3);7^x * 10 = 2^x * 35;Сокращаем обе части уравнения на 5.7^x * 2 = 2^x * 7.(7^x)/(2^x) = 7/2.(7/2)^x = (7/2)^1.х = 1.Проверка:7^(1 + 1) + 3 * 7^1 = 2^(1 + 5) + 3 * 2^1;7^2 + 3 * 7 = 2^6 + 3 * 2;49 + 21 = 64 + 6.70 = 70.Ответ: х = 1.