Решите неравенство 2x^2+9x-5≤0

2 * x ^ 2 + 9 * x - 5 ≤ 0;Приравняем неравенство к 0 и найдем корни квадратного уравнения через дискриминант:2 * x ^ 2 + 9 * x - 5 = 0;D = b ^ 2 - 4 * a * c = 9 ^ 2 - 4 * 2 * (- 5) = 81 + 8 * 5 = 81 + 40 = 121;x1 = (- 9 + 11)/(2 * 2) = (- 9 + 11)/4 = 2/4 = 1/2 =0,5;x2 = (- 9 - 11)/(2 * 2) = - 18/4 = - 9/2 = - 4,5;Так как, ветви квадратного уравнения направлены вверх, то отсюда получим: - 4,5 < = x < = 0,5;Ответ: - 4,5 < = x < = 0,5.

Для решения заданного квадратного неравенства необходимо сделать следующее:

• сначала решить квадратное уравнение 2х² + 9х - 5 = 0,
• далее определить, при каких значениях х функция у = 2х² + 9х - 5 принимает значения меньше или равно 0,
• найти решение заданного неравенства.

Решение квадратного уравнения 2х² + 9х - 5 = 0

Решим квадратное уравнение при помощи дискриминанта.

Обозначим коэффициенты уравнения: а = 2, b = 9, с = -5.

Вычислим дискриминант:

D = b² - 4ac,

D = 9² - 4 * 2 * (-5),

D = 81 + 40,

D = 121.

Так как D > 0, то уравнение имеет два корня.

Вычислим корни уравнения:

х_1,2 = (-b ± √D) / 2a,

х₁ = (-9 + √121) / (2 * 2),

х₁ = (-9 + 11) / 4,

х₁ = 2 / 4,

х₁ = 1/2;

х₂ = (-9 - √121) / (2 * 2),

х₂ = (-9 - 11) / 4,

х₂ = -20 / 4,

х₂ = -5.

Нашли корни уравнения, тем самым определили точки пересечения графика функции у = 2х² + 9х - 5 с осью абсцисс (Ох).

При каких значениях х значение функции у ≤ 0

Так как график функции у = 2х² + 9х - 5 — это парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при х² — положительное число), то у ≤ 0 при х є [-5; 1/2].

Следовательно, заданное неравенство справедливо при х є [-5; 1/2].

Ответ: х є [-5; 1/2].

 

Выполним проверку.

1) Найдем значение выражения при х < -5, например, при х = -6:

2 * (-6)² + 9 * (-6) - 5 = 2 * 36 - 54 - 5 = 72 - 54 - 5 = 13, 13 > -5.

 

2) Найдем значение выражения при х є [-5; 1/2], например, при х = 0:

2 * 0² + 9 * 0 - 5 = 0 + 0 - 5 = -5, -5 < 0.

 

3) Вычислим значение выражения при х > 1/2, например, при х = 1:

2 * 1² + 9 * 2 - 5 = 2 + 18 - 5 = 15, 15 > 0.