(1-i)^3 Выполните действия над комплексными числами

Выпишем третью степень как произведение:( 1 - i ) * ( 1 - i ) * ( 1 - i ) .Распишем более подробно произведение первых двух множителей:( 1 * 1 - 1 * i - i * 1 - i * ( - i ) ) * ( 1 - i ) = ( 1 - i - i + i * i ) * ( 1 - i ) .Учтём, что i^2 = - 1 , основное свойство так называемой \"мнимой единицы\":( 1 + i^2 - 2 * i ) * ( 1 - i ) = ( 1 - 1 - 2 * i ) * ( 1 - i ) =( 0 - 2 * i ) * ( 1 - i ) = ( - 2 * i ) * ( 1 - i ) .Продолжаем действия с комплексными числами:( - 2 * i ) * ( 1 - i ) = - 2 * i * 1 + ( - 2 * i ) * ( - i ) = - 2 * i + 2 * i * i = - 2 - 2 * i .

Сначала раскроем скобки

Первое что нужно сделать для решения примера – это вспомнить формулу куба разности двух чисел:

(a – b)³ = a³ – 3 * a² * b + 3 * a * b² – b³.

Теперь нужно применить эту формулу к нашему выражению. Вместо a у нас 1, а вместо b – мнимая единица i.

(1 – i)³ = 1³ – 3 * 1² * i + 3 * 1 * i² – i³.

На этой стадии знаки в выражении полностью соответствуют знакам из формулы куба разности. Выражение можно упростить, с учетом того что 1 в любой степени дает 1, запишем:

(1 – i)³ = 1 – 3 * i + 3 * i² – i³.

Теперь избавимся от высших степеней мнимой единицы i

Мнимая единица входит в три слагаемых:

• – 3 * i;
• + 3 * i²;
• – i³.

Основной особенностью мнимой единицы i является то, что при возведении ее в квадрат получается – 1. В отличие от всех действительных чисел, которые при возведении в четную степень дают положительный результат.

Используем это свойство, чтобы упростить выражение.

Во-первых, слагаемое 3 * i² = 3 * (– 1) становится числом – 3.

Во-вторых, слагаемое – i³ представляем как – i * i² = - i * (– 1) = i.

Заново запишем выражение:

(1 – i)³ = 1 – 3 * i – 3 + i.

Приведем подобные, отдельно сложив действительные и мнимые слагаемые:

(1 – i)³ = – 2 – 2 * i.