Упростите выражение (sina+cosa)^2 + (sina-cosa)^2

Нам нужно упростить выражение (sin a + cos a)^2 + (sin a - cos a)^2. В этом нам помогут тождественные преобразования и основные тригонометрические тождества.

Действовать будем следующим образом

• первым делом мы должны открыть скобки, для этого вспомнил ряд формул сокращенного умножения и правил открытия скобок, перед которыми стоят определенные знаки;
• теперь нам нужно сгруппировать и привести подобные слагаемые;
• после открытия скобок и приведения подобных применим формулу синус двойного аргумента к полученному выражению;
• запишем ответ.

Упрощаем выражение (sin a + cos a)^2 + (sin a - cos a)^2

По плану действий мы должны открыть скобки. В этом нам помогут формулы сокращенного умножения:

1) квадрат суммы (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2;

2) квадрат разности (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.

В нашем выражении a = sin a; b = cos a.

Так же применим формулу открытия скобок перед которыми стоит знак плюс или нет никакого знака (в этом случае мы просто убираем скобки) и перед которыми стоит знак минус (убираем скобки и знак перед ними, а в скобках знаки слагаемых меняем на противоположные).

(sin a + cos a)^2 + (sin a - cos a)^2 = sin^2 a + 2 * sin a * cos a + cos^2 a - (sin^2 a - 2 sin a * cos a + cos^2 a) = sin^2 a + 2 sin a cos a + cos^2 a - sin^2 a + 2 sin a cos a - cos^2 a;

Приводим подобные слагаемые.

2 sin a cos a + 2 sina a cos a = 4 sin a cos a.

Вспомним формулу — синус двойного аргумента:

sin 2a = 2 sin a cos a;

Применим ее к нашему выражению:

4 sin a cos a = 2(2 sin a cos a) = 2 sin 2a.

Ответ: 2 sin 2a.

Используя формулы квадрата суммы (a + b)² = a² + 2 * a * b + b² и квадрата разности (a - b)² = a² - 2 * a * b + b², получаем:(sinα + cosα)² + (sinα - cosα)² = sin²α + 2 * sinα * cosα + cos²α + sin²α - 2 * sinα * cosα + cos²α = sin²α + cos²α + sin²α + cos²α + 2 * sinα * cosα - 2 * sinα * cosα = 2sin²α + 2cos²α = 2 * ( sin²α + cos²α).Используя тождество sin²α + cos²α = 1, получаем:2 * ( sin²α + cos²α) = 2 * 1 = 2.Ответ: (sinα + cosα)² + (sinα - cosα)² = 2.