Найдите производную функции f(x)=-1/cos5x

По условию задачи нам необходимо вычислить производную функции f(x) = - 1 / cos 5x. Для этого будем использовать основные формулы и правила дифференцирования.

Формулы и правила для вычисления производной

• (cos x)’ = - sin x (производная основной элементарной функции);
• (с)’ = 0, где с – const (производная основной элементарной функции);
• (xⁿ)’ = n* x^(n-1) (производная основной элементарной функции);
• (с*u)’ = с*u’, где с – const (основное правило дифференцирования);
• (u / v)’ = (u’v - uv’) / v² (основное правило дифференцирования);
• y = f(g(x)), y’ = f’_u(u) * g’_x(x), где u = g(x) (основное правило дифференцирования).

Вычисление производной

Найдём производную нашей функции: f(x) = - 1 / cos 5x.

Для данной функции, чтобы найти производную будем использовать правило дифференцирования частного функции, а именно:

f(x)\' = (((- 1)’ * (cos 5x)) - ((- 1) * (cos 5x)’)) / (cos 5x)².

Используя, формулы и правила для вычисления производной, дифференцируем функцию почленно, а именно:

1. Вычислим производную от «-1»: «-1» – это const, то есть по правилу дифференцирования у нас получается, что (-1)’ = 0.
2. Вычислим производную от «5x»: у нас получается, что (5x)’ = 5 * 1 * х⁰ = 5.
3. Вычислим производную от «(cos 5x)»: производная от «(cos 5x)» – это будет «- sin 5x», следовательно, у нас получается, что ((cos 5x))’ = - (sin 5x).

Таким образом, производная нашей функции будет следующая:

f(x)\' = (((- 1)’ * (cos 5x)) - ((- 1) * (cos 5x)’)) / (cos 5x)² = ((0 * (cos 5x)) - ((- 1) * 5 * (- sin 5x))) / (cos 5x)² = (- 5sin 5x) / (cos 5x)².

Найдем производную функции f (x) = - 1/cos(5 * x).Для того, чтобы найти производную функции f (x) = - 1/cos(5 * x) используем формулы производной:1) (x/y) \' = (x \' * y - y \' * x)/y ^ 2;2) cos \' u = - sin u * u \';3) (x ^ n) \' = n * x ^ (n - 1);4) x \' = 1;5) C \' = 0;Тогда получим:f \' (x) = (- 1/cos(5 * x)) \' = - (1 \' * cos (5 * x) - cos \' (5 * x) * 1)/cos ^ 2 (5 * x) = - (0 * cos (5 * x) - (- sin (5 * x)) * (5 * x) \' * 1)/cos ^ 2 (5 * x) = - (0 + sin (5 * x) * (5 * x) \')/cos ^ 2 (5 * x) = - sin (5 * x) * 5/cos ^ 2 (5 * x) = - 5 * sin (5 * x)/cos ^ 2 (5 * x).