Найдите такое трехзначное число, у которого отношение его самого к его сумме цифр наименьшее из возможных?

   1. Обозначим искомое трехзначное число:

• x = abc, где a, b и c -цифры трехзначного числа;
• x = 100a + 10b + c;
• y = a + b + c, сумма цифр числа x.

   2. Для отношений этих чисел получим:

      k = y/x = (100a + 10b + c)/(a + b + c).

   Выделим целую часть дроби:

• k = (99a + 9b + a + b + c)/(a + b + c);
• k = 1 + (99a + 9b)/(a + b + c);
• k = 1 + 9(11a + b)/(a + b + c). (1)

   3. Из уравнения (1) следует, что наименьшее значение для k получим при наибольших значениях b и c, и при наименьшем значении для \'a\':

• c = 9;
• b = 9;
• a = 1;

• x = abc = 199.
• k = 199/19 ≈ 10,47.

   Ответ: 199.

Чтобы отношение было небольшим, нужно, чтобы или число было большим (чтобы сумма чисел тоже была большая), или число должно быть небольшим (чтобы сумма чисел тоже была маленькая).

Число, составленное из самых больших цифр:

• Это число 999, так как 9 - самая большая цифра;
• найдем сумму цифр числа: 9 + 9 + 9 = 27;
• отношение числа к сумме чисел равно 999/27, это примерно 37.

Попробуем взять число, меньшее на 1 сотню, то есть число 899.

Найдем сумму чисел 8 + 9 + 9 = 26, отношение числа к сумме равно 899/27 ~ 34.

Можно заметить, что отношение уменьшилось. То есть, если мы будем уменьшать в числе количество сотен на 1, то число уменьшается на целую сотню, а сумма цифр числа изменяется всего лишь на единицу, и отношение будет уменьшаться.

То есть число 199 должно подходить по условию. Проверим это: 1 + 9 + 9 = 19, отношение числа к сумме цифр равно 199/19 ~ 10.

Пробуем число 919: 9 + 1 + 9 = 19, отношение числа к сумме цифр равна 919/19 ~ 48, слишком большое отношение.

Если брать маленькое число (чтобы и сумма цифр была небольшая), то пробуем самое маленькое трехзначное число 100: 1 + 1 + 1 = 1, отношение числа к сумме цифр равна 100/1 = 100, очень большое отношение.

Значит, правильный ответ: число 199.