Производная функции tgx(cosx+2)

Найдем производную функции y = tg x * (cos x + 2).Для того, чтобы найти производную функции y = tg x * (cos x + 2) используем формулы производной:1) tg \' x = 1/cos ^ 2 x;2) cos \' x = - sin x;3) C \' = 0;4) (x + y) = x \' + y \';5) (x * y) \' = x \' * y + x * y\';Тогда получаем:y \' = (tg x * (cos x + 2)) \' = tg \' x * (cos x + 2) + (cos x + 2) \' * tg x = 1/cos ^ 2 x * (cos x + 2) + (- sin x + 0) * tg x = (cos x + 2)/cos ^ 2 x - sin x * tgx = (cos x + 2)/cos ^ 2 x - sin x * sin x/cos x = (cos x + 2 - sin ^ 2 x * cos x)/cos ^ 2 x.

Найдем производную по правилу «производной произведения»

Функция y(x) = tg(x) * (cos(x) + 2) представляет собой произведение двух функций.

Правило для нахождения производной произведения функций следующее:

(U(x) * V(x))’ = U’(x) * V(x) + U(x) * V’(x). Следовательно, нужно:

• Выделить функции множители U(x) и V(x);
• По отдельность найти производные этих функций U’(x) и V’(x);
• Записать конечный результат в соответствии с представленным правилом.

Пусть U(x) = tg(x), V(x) = cos(x) + 2.

Для функции U(x): производная от тангенса – это табличная производная U’(x) = 1 / cos^2(x), хотя может быть вычислена и по правилу производной от частного двух функций.

Для функции V(x): вспоминаем, что производная суммы равна сумме производных и находим производную каждого слагаемого. Производная от cos(x)’ = -sin(x), производная от константы равна нулю. В итоге V’(x) = -sin(x)

Запишем выражение U’(x) * V(x) + U(x) * V’(x):

(1 / cos^2(x)) * (cos(x) + 2) – sin(x) * tg(x).

Раскроем скобки и представим tg(x) как sin(x) / cos(x):

1 / cos(x) + 2 / cos^2(x) – sin^2(x) / cos(x).

Заметим, что две дроби имеют одинаковый знаменатель, запишем их в виде одной дроби:

(1 – sin^2(x)) / cos(x) + 2 / cos^2(x).

Из тригонометрии известно, что 1 – sin^2(x) = cos(x).

В итоге получаем:

cos(x) + 2 / cos^2(x).

Решение с преобразованием исходного выражения

Более простым оказывает решение, где сначала проводятся преобразования выражения.

Для начала раскроем скобки:

tg(x) * (cos(x) + 2) = tg(x) * cos(x) + 2 * tg(x).

Представим tg(x) как отношение sin(x) / cos(x):

sin(x) * cos(x) / cos(x) + 2 * tg(x).

Сокращаем дробь и получаем:

sin(x) + 2 * tg(x).

Теперь найдем производную. Производная от суммы равна сумме производных. Производные от обеих функции являются табличными: sin(x)’ = cos(x); tg(x)’ = 1/cos^2(x). Результат совпадает с решением первым способом.

Ответ [tg(x) * (cos(x) + 2)]’ = cos(x) + 2 / cos^2(x).