Найдите производную , f(x)>0

Нам нужно найти производную заданной функции f(x) = 3x^2 - x^3, а затем решить полученное неравенство f\'(x) > 0.

Для решения задачи составим и будем использовать следующий алгоритм действий

• первым шагом в решении задания найдем производную заданной функции;
• запишем неравенство, которое нужно решить согласно условию задачи;
• решать неравенство будем методом интервалов, так что приравняем его к нулю и найдем корни полученного неполного квадратного уравнения;
• нанесем точки на числовую прямую и определим знаки полученных интервалов;
• запишем ответ.

Найдем производную функции и решим полученное неравенство

Для нахождения производной будем использовать формулу производной степенной функции, которая выглядит так:

(x^n)\' = n * x^(n - 1).

Находим производную и получаем:

f\'(x) = (3x^2 - x^3)\' = 6x - 3x^2.

Производную мы нашли, теперь переходим к решению неравенства:

6x - 3x^2 > 0.

Приравняем левую часть неравенства к нулю и решим полученное неполное квадратное уравнение.

6x - 3x^2 = 0;

Вынесем за скобки общий множитель:

3x(2 - x) = 0;

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

1) 3x = 0;

x = 0.

2) 2 - x = 0;

x = 2.

Наносим найденные точки на числовую прямую и определяем знаки полученных интервалов.

http://bit.ly/2rRiH0e.

Графиком функции, находящейся в левой части неравенства является парабола ветви которой направленны вниз (так как стоит минус перед переменной во второй степени).

Решением неравенства будет промежуток (0; 2).

Ответ: x принадлежит промежутку (0; 2).

Найдём производную нашей данной функции: f(x) = x * (x – 4).

Воспользовавшись основными формулами и правилами дифференцирования:

(x^n)’ = n * x^(n-1).

(с)’ = 0, где с – const.

(с * u)’ = с * u’, где с – const.

(u ± v)’ = u’ ± v’.

(uv)’ = u’v + uv’.

y = f(g(x)), y’ = f’u(u) * g’x(x), где u = g(x).

Таким образом, производная нашей данной функции будет следующая:

f(x)\' = (x * (x – 4))’ = (x)’ * (x – 4) + x * (x – 4)’ = (x)’ * (x – 4) + x * ((x)’ – (4)’) = 1 * (x – 4) + x * (1 – 0) = x – 4 + x = 2x – 4.

Ответ: Производная нашей данной функции будет равна f(x)\' = 2x – 4.