Назовите такое значение b, при котором неравенство b(x−b)≤3x+1 верно для любого значения x.

Раскроем скобки:bx - b^2 ≤ 3x + 1;Сгруппируем все слагаемые с неизвестной переменной:bx - 3х ≤ b^2 + 1;Для того, чтобы неравенство было верно для любого х, необходимо, чтобы все слагаемые с х сократились. Соответственно b должно быть равно 3. Проверяем:3х - 3х ≤ 9 + 1;0 ≤ 10 - неравенство выполняется.Ответ: b = 3.

В этой задаче вам необходимо называть такое значение b, при котором неравенство b(x - b) ≤ 3x + 1 верно для любого значения x.

Преобразование неравенства

Прежде всего, раскроем скобки в левой части неравенства и перенесем слагаемое с х в правую часть неравенства:

bx - b^2 ≤ 3x + 1;

- b^2 ≤ 3x + 1 - bx;

Поменяем местами слагаемые в правой части неравенства и вынесем х за скобку:

- b^2 ≤ 1 + 3x - bx;

- b^2 ≤ 1 + х(3 - b).

Выбор параметра b, отвечающего условиям задачи

Анализируя неравенство - b^2 ≤ 1 + х(3 - b), обратим внимание на следующие факты:

• левая часть неравенства - b^2 ≤ 0 при любых значения параметра b;
• правая часть неравенства 1 + х(3 - b) состоит из двух слагаемых 1 и х(3 - b);
• при значении параметра b = 3 правая часть неравенства равна 1:1 + х(3 - b) = 1 + х(3 - 3) = 1 + х * 0 = 1.

Значит, при b = 3 неравенство справедливо для любых значений х так как оно сводится к верному утверждению:

- 9 ≤ 1.

Ответ: при b = 3 неравенство b(x - b) ≤ 3x + 1 справедливо для любых значений х.