Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями у=4-х^2; у=0

Решение: сначала надо решить уравнение у = 4 -х ^2 где y = 04 - x ^2 = 04 = x ^2 решением уравнения будут корни x1 = 2 x2 = -2так как у нас квадратное уравнение,то графиком функции будет парабола,ветви параболы направлены вниз.Для вычисления площади фигуры надо проинтегрировать функцию: y(x) = 4 - x^ 2 по d(x).Пределами этой функции являются найденные нами корни уравнения x1 и x2.интеграл = ИИ = 4 x - (x ^3) / 3- по таблице интеграловИ = И(x2) - И(x1) подставляемS = И(2) - И(-2) = (8 - 8 / 3 ) - (-8 + 8 / 3) = 16 - 16 / 3 = 32 / 3 = 10.666666- площадь фигурыОтвет:S = 10.666666

Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями, через двойной интеграл.

Алгоритм вычисления площади через двойной интеграл

• Выполнить чертеж обоих функций на координатной прямой, заштриховать получившуюся фигуру;
• Найти точки пересечения графиков методом подстановки;
• Выбрать порядок обхода области получившейся фигуры;
• Выполнить вычисления по формуле нахождения площади: S = _D~~ dxdy (~~ это двойной интеграл).

Точки пересечения графиков

Даны две функции у = 4 - х² и у = 0

Найдем точки пересечения графиков, для этого приравниваем значение у.

4 - х² = 0

- x² = - 4

 

x² = 4

х = 2,  х = - 2

Порядок обхода области

- 2 <= x <= 2

0 <= y <= 4 - x² 

Выполняем вычисление по формуле S = _D~~dxdy (двойной интеграл записывается как две вертикальные изогнутые линии, буква D внизу).

S = _D~~dxdy = _-2 ~ ² dx ₍₀₎~^{(4 - x2)} dy = _-2 ~ 2 dx y ₀|^{4 - x2} = _-2 ~ ² (4 - x²) - x)dx =

= _-2 ~ ² 4dx  - _-2 ~ ² (x²)dx = 4 * (2 - (- 2)) - (x³/3) _-2|² = 16 - (8/3 - (- 8/3))= 16 - 16/3 = 32/3 = 10 2/3

Ответ: Площадь ограниченная линиями  у = 4 - х² и у = 0 равна 10 2/3 ед².