Sqrt(x+6)=sqrt(3*x+16)-sqrt(x+1)

D: x+1>=0;x+6>=0; ==> x>=-1;3x+16>=0;Sqrt(x + 6) = sqrt(3 * x + 16) - sqrt(x + 1); //возведем обе части уравнения в квадратх+6 = 3х + 16 - 2 * sqrt (3x + 16) * sqrt (x + 1) + x + 1;x + 6 - 3x - 16 - x - 1 = -2 * sqrt (3x + 16) * sqrt (x + 1);-3x - 11 = -2 sqrt (3x + 16) * sqrt (x + 1);- (3x + 11) = -2 sqrt (3x + 16) * sqrt (x + 1);(3x + 11) = 2 sqrt (3x + 16) * sqrt (x + 1); //возведем обе части уравнения в квадрат9х^2 + 66x + 121 = 4 * (3x + 16) (x + 1);9х^2 + 66x + 121 = 12x^2 + 12x + 64x + 64;9х^2 + 66x + 121 - 12x^2 - 12x - 64x - 64 =0;-3x^2 - 10x + 57 = 0;D = 10^2 -4 * (-3) * 57 = 784;sqrt D = 28;x = (10+-28)/2 * (-3);x1 = 3; x2 = -38/6 = -19/3 - не входит в область определения.Ответ: 3.

Решим уравнение sqrt (x + 6) = sqrt (3 * x + 16) – sqrt (x + 1)

√(x + 6) = √(3 * x + 16)  - √(x + 1);

Правую и левую часть выражения возведем в квадрат. То есть получаем:

(√(x + 6)) ^ 2 = (√(3 * x + 16) - √(x + 1)) ^ 2;

(x + 6) = (3 * x + 16) – 2 * √(3 * x + 16) * √(x + 1)  + (x + 1);

Сначала раскрываем скобки. Если перед скобками стоит знак минус, то при ее раскрытии, знаки значений меняются на противоположный знак. Если же перед скобками стоит знак плюс, то при ее раскрытии знаки значений остаются без изменений. То есть получаем:

X + 6 = 3 * x + 16 – 2 * √(3 * x + 16) * √(x + 1)  + x + 1;

2 * √(3 * x + 16) * √(x + 1) = 3 * x + 16 + x + 1 – x – 6;

2 * √(3 * x + 16) * √(x + 1) = 3 * x + 16 + 1 – 6;

2 * √(3 * x + 16) * √(x + 1) = 3 * x + 10 + 1;

2 * √(3 * x + 16) * √(x + 1) = 3 * x + 11;

(2 * √(3 * x + 16) * √(x + 1)) ^ 2 = (3 * x + 11) ^ 2;

4 * (3 * x + 16) * (x + 1) = (3 * x) ^ 2 + 2 * 3 * x * 11 + 11 ^ 2;

4 * (3 * x + 16) * (x + 1)  = 9 * x ^ 2 + 66 * x + 121;

Раскрываем скобки. Для этого каждые значения в первой скобке, умножаем на каждое значение во второй скобке, и складываем их в соответствии с их знаками. Тогда получаем:

4 * (3 * x * x + 3 * x * 1 + 16 * x + 16 * 1) = 9 * x ^ 2 + 66 * x + 121;

4 * (3 * x ^ 2 + 3 * x + 16 * x + 16) = 9 * x ^ 2 + 66 * x + 121;

4 * (3 * x ^ 2 + 19 * x + 16) = 9 * x ^ 2 + 66 * x + 121;

Раскрываем скобки. Для этого значение перед скобками, умножаем на каждое значение в скобках, и складываем их в соответствии с их знаками. Тогда получаем:

4 * 3 * x ^ 2 + 4 * 19 * x + 4 * 16 = 9 * x ^ 2 + 66 * x + 121;

12 * x ^ 2 + 76 * x + 64 = 9 * x ^ 2 + 66 * x + 121;

Перенесем все значения выражения на одну сторону. При переносе значений, их знаки меняются на противоположный знак. То есть получаем:

12 * x ^ 2 + 76 * x + 64 – 9 * x ^ 2 – 66 * x – 121 = 0;

Для того, чтобы упростить выражения, используем следующий порядок действий: 

1. Сначала сгруппируем подобные значения;
2. Вынесем за скобки общий множитель;
3. Найдем значение выражения в скобках и упростим выражение.  

(12 * x ^ 2 – 9 * x ^ 2) + (76 * x – 66 * x) + (64 – 121) = 0;

X ^ 2 * (12 – 9) + x * (76 – 66) – 57 = 0;

3 * x ^ 2 + 10 * x – 57 = 0;

Найдем корни квадратного уравнения 3 * x ^ 2 + 10 * x – 57 = 0

Найдем дискриминант квадратного уравнения:

D = b ² – 4 * a * c = 10 ² – 4 · 3 · (- 57) = 100 + 684 = 784;

Так как дискриминант больше нуля то, квадратное уравнение имеет два действительных корня:

x₁ = (- 10 - √784)/(2 · 3) = (- 10 – 28)/6 = - 38/6 = - 19/3;  

x₂ = (- 10 + √784)/(2 · 3) = (- 10 + 28)/6 = 18/6 = 3;

Отсюда получили, что уравнение √(x + 6) = √(3 * x + 16)  - √(x + 1) имеет 2 корня х = - 19/3 и х = 3.