Основание равнобедренной трапеции равны 3 и 8, а угол при основании 60 градусов. Найти диагональ. В ромбе АБСД АВ=13

1). Пусть дана равнобедренная трапеция АВСD, у которой высота ВК, основания ВС = 3 и АD = 8, а угол при основании ВАD равен 60 градусов, тогда:

(8 – 3) : 2 = 2,5 – расстояние от вершины А до точки К (основания высоты ВК) по свойству равнобедренной трапеции АК = (АD – ВС)/2;

90° – 60° = 30° – величина ∠АВК, так как ∠ВАК + ∠АВК = 90° в прямоугольном треугольнике АВК;

2,5 ∙ 2 = 5 – гипотенуза АВ, так как АВ = 2 ∙ АК по свойству катета, лежащего напротив угла 30°;

√(5² + 8² – 2 ∙ 5 ∙ 8 ∙ ½) = 7 – диагональ АВСD, так как в ΔАВD по теореме косинуса ВD² = АВ² + АК² – 2 ∙ АВ ∙ АК ∙ cos60°.

Ответ: диагональ трапеции равна 7.

2). Пусть дан ромб АВСD, в котором сторона АВ = 13, диагональ ВD = 24, точка О – точка пересечения диагоналей АС и ВD, тогда:

∠АОВ = 90° – по свойству диагоналей ромба;

ВО = ВD : 2 = 24 : 2 = 12 – по свойству диагоналей ромба;

АО = √(13² – 12²) = 5, так как в прямоугольном треугольнике АВО по теореме Пифагора выполняется равенство АВ² = АО² + ВО²;

5 ∙ 2 = 10 – диагональ АС;

(10 ∙ 24)/2 = 120 – площадь ромба ABСD, так как S(ABСD) = (AС ∙ BD)/2;

120 : 13 = 9 + (3/13) – высота ромба, так как h = S(ABСD) : AВ.

Ответ: высота ромба составляет 9 (3/13).