Сколько существует пятизначных чисел, десятичная запись которых начинается с 1 и содержит ровно две одинаковые цифры

1) Повторяется цифра 1. Это 4 варианта: 11ххх, 1х1хх, 1хх1х, 1ххх1.

В каждом варианте вместо первой х можно поставить любую цифру из 9: 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Вместо второй х - любую их 8 оставшихся, вместо третьей х - любую из 7.

Всего 4*9*8*7 = 2016 вариантов.

2) Повторяется цифра 0. Это 6 вариантов: 100хх, 10х0х, 10хх0, 1х00х, 1х0х0, 1хх00.

В каждом варианте вместо первой х можно поставить любую из 8 цифр: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Вместо второй х - любую из оставшихся 7 цифр. Всего 6*8*7 = 336 вариантов.

3) Повторяется цифра 2. Это 6 вариантов: 122хх, 12х2х, 12хх2, 1х22х, 1х2х2, 1хх22.

В каждом варианте вместо первой х можно поставить любую из 8 цифр: 0, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Вместо второй х - любую из оставшихся 7 цифр. Всего 6 * 8 * 7 = 336 вариантов.

4) Повторяются цифры 3 - 9. Это каждый раз по 336 вариантов.

Всего получается 2016 + 9 * 336 = 2016 + 3024 = 5040 вариантов.

Ответ: 5040 вариантов.