На столе лежат палочки натуральной длины от 1 до 27. Какое наибольшее количество треугольников можно из них составить

Для любого треугольника должно обязательно выполняться свойство: 

Сумма  двух меньших сторон треугольника больше третьей стороны.

У нас есть палочки размером 1, 2, 3...27. Если возьмем первые 3 и попробуем проверить по правилу 1 + 2 = 3, треугольник не получится. 

Пусть мы возьмем палочки длиной 1, a, b, где a < b, a не равно b.

Тогда должно выполнится свойство 1+а>b, вычтем из обеих частей неравенства 1

1+ a - 1 > b - 1

a > b - 1, что противоречит условию  a < b.

Значит палочку длиной 1 мы не сможем использовать в построении треугольника, остается 26 палочек. 26 : 3 = 8 + остаток 2, сможем построить 8 треугольников, и еще 2 палочки останутся.

Ответ: 8 треугольников и 3 палочки останется, одна из них длиной 1.