Сколько существует 25-значных чисел, сумма цифр которых равна четырём?

   1. Обозначим цифры каждого разряда 25-значного числа:

      n[i], где

      i = 1, 2, ... , 25;

      n[i] = 0, 1, ... , 9; n[25] ≠ 0.

   2. Сумма цифр числа равна 4 в следующих случаях:

• a) одна цифра \'4\';
• b) 3 + 1 = 4;
• c) 2 + 2 = 4;
• d) 2 + 1 + 1 = 4;
• e) 1 + 1 + 1 + 1 = 4.

   3. Для каждого случая вычислим количество 25-значных чисел:

   a) единственное число: 400...00;

   b) 1 + 3 = 4;

• n[25] = 3, для цифры \'1\' возможны 24 позиции;
• n[25] = 1, для цифры \'3\' возможны 24 позиции;

      всего чисел: 2 * 24 = 48;

   c) 2 + 2 = 4;

• n[25] = 2, для второй цифры \'2\' возможны 24 позиции - всего 24 числа.

   d) 2 + 1 + 1 = 4:

• n[25] = 2, для двух единиц возможны С2(24) = 24!/(2! * 22!) = 23 * 24 / 2 = 276 позиций;
• n[25] = 1, для цифр \'1\' и \'2\' возможны 2 * С2(24) = 24 * 23 = 552 позиции;

      всего чисел: 276 + 552 = 828;

      e) 1 + 1 + 1 + 1 = 4;

• n[25] = 1, для трех единиц возможны С3(24) = 24!/(3! * 21!) = 24 * 23 * 22 /(2 * 3) = 2024 позиции.

   4. Количество всех чисел:

      1 + 48 + 24 + 828 + 2024 = 2925.