Решите неравенство sqrt(a+x)+sqrt(a-x)>a при всех значениях параметра а

   1. Допустимые значения переменной:

      √(a + x) + √(a - x) > a; (1)

• {a + x ≥ 0;{a - x ≥ 0;
• {x ≥ -a;{x ≤ a;

• a) при a < 0, => x ∈ ∅; неравенство не имеет решения;
• b) при a = 0, => x = 0, неравенство не имеет решения;
• c) при a > 0, => x ∈ [-a; a].

   2. Возведем в квадрат обе части неравенства (1):

• a + x + 2√(a^2 - x^2) + a - x > a^2;
• 2a + 2√(a^2 - x^2) > a^2;
• 2√(a^2 - x^2) > a^2 - 2a;
• 2√(a^2 - x^2) > a(a - 2). (2)

   3. При a ∈ (0; 2) неравенство верно для любого x ∈ [-a; a].

   4. a ∈ [2; ∞). Возведем в квадрат неравенство (2):

• 4(a^2 - x^2) > (a(a - 2))^2;
• 4a^2 - 4x^2 > (a(a - 2))^2;
• 4x^2 < a^2(4 - (a - 2)^2);
• 4x^2 < a^2(4 - a^2 + 4a - 4);
• 4x^2 < a^2(4a - a^2);
• 4x^2 < a^3(4 - a);
• x^2 < a^3(4 - a)/4. (3)

   a) При a ∈ [4; ∞) неравенство не имеет решения;

   b) При a ∈ [2; 4) решение неравенства:

      x ∈ (-√(a^3(4 - a))/2; √(a^3(4 - a))/2).

   Ответ:

• 1) a ∈ (-∞; 0], нет решения;
• 2) a ∈ (0; 2), x ∈ [-a; a];
• 3) a ∈ [2; 4), x ∈ (-√(a^3(4 - a))/2; √(a^3(4 - a))/2);
• 4) a ∈ [4; ∞), нет решения.