Найдите наибольшее значение функции у=х(в кубе)-6х(вквадрате)+9х-2 на отрезке [2, 4]

Решение задачи.

1. Найдем производную функции у(х).

у\'(х) = 3х^2 - 12x + 9.

2. Найдем точки экстремума функции у(х). 

у\'(х) = 0;

3х^2 - 12x + 9 = 0;

х^2 - 4x + 3 = 0;

D = 16 - 12 = 4;

Уравнение имеет 2 корня х = 1 и х = 3. 

Функция имеет 2 точки экстремума х = 1 и х = 3.

Отрезку [2;4] принадлежит 1 точка х = 3.

3. Определим, является точка х = 3 точкой минимума или максимума.

y\'\'(x) = 6x - 12;

y\'\'(3) = 18 - 12 = 6 > 0/

Точка х = 3 - точка минимума функции у(х).

4. Для нахождения наибольшего значения функции вычислим значения функции на концах отрезка.

у(2) = 2^3 - 6 * 2^2 + 9 * 2 - 2 = 8 - 24 + 18 - 2 = 0.

y(4) = 4^3 - 6 * 4^2 + 9 * 4 - 2 = 64 - 96 + 36 - 2 = 2.

y(4) > y(2).

Ответ. Наибольшее значение функции у = х^3 - 6х^2 + 9х - 2 на отрезке [2;4] равно 2.