Существует ли такое натуральное число, что сумма его цифр делится на 13, и сумма цифр числа, на единицу большего, тоже

   1. Пусть функция N(n) выражает сумму цифр натурального числа n.

   2. Если число n не оканчивается на цифру 9, то при прибавлении единицы к этому числу не будет перехода через разряд, следовательно, для таких чисел:

      N(n + 1) = N(n) + 1.

   3. Если же последние k цифры числа n - девятки, то при прибавлении единицы к этому числу получим:

      N(n + 1) = N(n) - 9k + 1;

      N(n) - N(n + 1) = 9k - 1. (1)

   4. По условию задачи:

      N(n) = 13p, p ∈ N;

      N(n + 1) = 13q, q ∈ N.

   Отсюда получим:

      N(n) - N(n + 1) = 13(p - q); (2)

   5. Из уравнений (1) и (2) следует:

      13(p - q) = 9k - 1; (3)

   9k - 1 делится на 13, а наименьшее значение k - число 3:

      9 * 3 - 1 = 26.

   6. Наименьшее число, удовлетворяющее условию задачи:

• n = 48999; N(n) = 4 + 8 + 3 * 9 = 39;
• n + 1 = 49000; N(n + 1) = 4 + 9 = 13.

   Ответ. Наименьшее подобное число: 48999.