|sin x| + |cos x| < 1

    Метод разбиения на интервалы

   1. В точках x = πk/4, k ∈ Z, абсолютное значение одной из тригонометрических функций sinx и cosx равно нулю, а другой - единице. Следовательно, сумма равна единице, и неравенство в этом случае не имеет решения.

   2. Умножим обе части неравенства (1) на число √2/2 и заменим в левой части соответствующей тригонометрической функцией:

• |sinx| + |cosx| < 1; (1)
• √2/2 * |sinx| + √2/2 * |cosx| < √2/2;
• cos(π/4) * |sinx| + sin(π/4) * |cosx| < √2/2. (2)

   3. Рассмотрим 4 интервала:

• a) x ∈ (0 + 2πk, π/2 + 2πk), первая четверть;
• b) x ∈ (π/2 + 2πk, π + 2πk), вторая четверть;
• c) x ∈ (π + 2πk, 3π/2 + 2πk), третья четверть;
• d) x ∈ (3π/2 + 2πk, 2π + 2πk), четвертая четверть,

и для каждого из них решим неравенство (2).

• a) первая четверть;
• cos(π/4) * sinx + sin(π/4) * cosx < √2/2;
• sin(x + π/4) < √2/2;
• x + π/4 ∈ (3π/4 + 2πk, 9π/4 + 2πk);
• x ∈ (π/2 + 2πk, 2π + 2πk);
• нет решения.

• b) вторая четверть;
• cos(π/4) * sinx - sin(π/4) * cosx < √2/2;
• sin(x - π/4) < √2/2;
• x - π/4 ∈ (3π/4 + 2πk, 9π/4 + 2πk);
• x ∈ (π + 2πk, 5π/2 + 2πk);
• нет решения.

• c) третья четверть;
• -cos(π/4) * sinx - sin(π/4) * cosx < √2/2;
• -sin(x + π/4) < √2/2;
• sin(x + π/4) > -√2/2;
• x + π/4 ∈ (-π/4 + 2πk, 5π/4 + 2πk);
• x ∈ (-π/2 + 2πk, π + 2πk);
• нет решения.

• d) четвертая четверть;
• -cos(π/4) * sinx + sin(π/4) * cosx < √2/2;
• -sin(x - π/4) < √2/2;
• sin(x - π/4) > -√2/2;
• x - π/4 ∈ (-π/4 + 2πk, 5π/4 + 2πk);
• x ∈ (0 + 2πk, 3π/2 + 2πk);
• нет решения.

  Возведение в квадрат

   Неравенство (1) имеет более красивое решение. Поскольку обе его части положительны, то можно их возвести в квадрат:

• |sinx| + |cosx| < 1;
• sin^2(x) + 2|sinx||cosx| + cos^2(x) < 1;
• 1 + |2sinx * cosx| < 1;
• |2sinx * cosx| < 0;
• Нет решения.

   Заметим, что такое простое решение возможно только для указанных коэффициентов, поэтому было рассмотрено и более универсальное решение.

   Ответ: нет решения.

В обоих частях неравенства неотрицательные числа (так |sin(x)| >= 0 и |cos(x)| >= 0), поэтому можно возвести обе части в квадрат и знак неравенства не поменяется:(|sin(x)| + |cos(x)|)2 < 1Раскроем квадрат суммы:(|sin(x)|)2 + 2 * |sin(x)| * |cos(x)| + (|cos(x)|)2 < 1Перенесем единицу в левую часть и сгруппируем слагаемые:[(|sin(x)|)2 + (|cos(x)|)2 – 1] + 2 * |sin(x)| * |cos(x)| < 0При этом (|sin(x)|)2 = (sin(x))2, (|cos(x)|)2 = (cos(x))2. Вспомним основное тригонометрическое тождество:sin2(x) + cos2(x) = 1В таком случае первая скобка в неравенстве обращается в ноль, в итоге имеем:2 * |sin(x)| * |cos(x)| < 0Разделим на 2:|sin(x)| * |cos(x)| < 0Получается, что произведение неотрицательных чисел меньше нуля. Такого быть не может, следовательно, у неравенства нет решений.Ответ: Нет решений.