Найти промежутки возрастания и убывания функции y= -x^3+3x^2+4

Найдем промежутки возрастания и убывания функции у = - х^3 + 3х^2 + 4 с помощью производной.

1) Найдем производную функции:

у\' = (- х^3 + 3х^2 + 4)\' = - 3х^2 + 6х.

2) Приравняем производную функции к нулю и найдем точки экстремума:

- 3х^2 + 6х = 0 - вынесем за скобку общий множитель (- 3х);

- 3х(х - 2) = 0 - произведение двух множителей равно нулю тогда, когда один из множителей равен нулю;

- 3х = 0;

х1 = 0;

х - 2 = 0;

х2 = 2.

3) Отметим на числовой прямой числа 0 и 2. Эти числа делят числовую прямую на три интервала: 1) (- ∞; 0), 2) (0; 2), 3) (2; + ∞).

4) Проверим знак производной в каждом интервале. 

Число (- 1) принадлежит 1 промежутку. - 3 * (- 1) * (- 1 - 2) = - 9 < 0. Если производная функции отрицательная, то сама функция является убывающей на данном промежутке.

Число 1 принадлежит 2 промежутку. - 3 * 1 * (1 - 2) = 3 > 0. Если производная функции положительная, то сама функция является возрастающей на данном промежутке.

Число 3 принадлежит 3 промежутку. - 3 * 3 * ( 3 - 2) = - 9 < 0, значит функция на этом промежутке является убывающей.

Ответ. Функция убывает на (- ∞; 0) и на (2; + ∞); функция возрастает на (0; 2).