Найдите все значения а,при каждом из которых наименьшее значение функции f(x)=4ax+|x^2-10x+21|больше, чем -42.

   1. Корни квадратного трехчлена:

      f(x) = 4ax + |x^2 - 10x + 21|;

      x1 = 3; x2 = 7.

   2. При x ∈ [3; 7] получим:

• f(x) = 4ax - x^2 + 10x - 21;
• f(x) = -x^2 + 2(2a + 5)x - 21.

   Ветви параболы направлены вверх, наименьшее значение функция принимает на концах отрезка:

      f(x) = 4ax;

   a) f(3) = 12a > -42;

      a > -42/12 = -7/2 = -3,5;

   b) f(7) = 28a > -42;

      a > -42/28 = -3/2 = -1,5;

• {a ∈ (-3,5; ∞);{a ∈ (-1,5; ∞);
• a ∈ (-1,5; ∞).

   3. При x ∈ (-∞; 3) ∪ (7; ∞) получим:

• f(x) = 4ax + x^2 - 10x + 21;
• f(x) = x^2 + 2(2a - 5)x + 21;
• f(x) = (x + (2a - 5))^2 + 21 - (2a - 5)^2.

   Абсцисса вершины параболы:

      x0 = -(2a - 5).

   a) x0 принадлежит промежутку [3; 7] при условии:

• 3 ≤ x0 ≤ 7;
• 3 ≤ -(2a - 5) ≤ 7;
• -3 ≥ 2a - 5 ≥ -7;
• -7 ≤ 2a - 5 ≤ -3;
• -2 ≤ 2a ≤ 2;
• -1 ≤ a ≤ 1;
• a ∈ [-1; 1].

   При этом условии вершина параболы находится внутри отрезка, и функция наименьшее значение принимает на границах. Поскольку [-1; 1] ∈ [-1,5; ∞], то a ∈ [-1; 1] удовлетворяет условию задачи.

   b) a ∈ (-1,5; -1) ∪ (1; ∞).

   Ордината вершины параболы - наименьшее значение функции:

• ymin = 21 - (2a - 5)^2 > -42;
• (2a - 5)^2 < 63;
• 2a - 5 ∈ (-√63; √63);
• 2a ∈ (5 - √63; 5 + √63);
• a ∈ (2,5 - √63/2; 2,5 + √63/2) ≈ (-1,47; 6,47).
• {a ∈ (2,5 - √63/2; 2,5 + √63/2);{a ∈ (-1,5; -1) ∪ (1; ∞);
• a ∈ (2,5 - √63/2; -1) ∪ (1; 2,5 + √63/2).

   4. Объединение множеств:

• [a ∈ [-1; 1];[a ∈ (2,5 - √63/2; -1) ∪ (1; 2,5 + √63/2);
• a ∈ (2,5 - √63/2; 2,5 + √63/2).

   Ответ: (2,5 - √63/2; 2,5 + √63/2).