Найдите площадь треугольника A (1;0) B (0;4) C (3;3)

Воспользуемся формулой расстояния между двумя точками А и B на координатной плоскости с координатами А(х1;у1) и B(х2;у2):

|AB| = √((х1 - х2)² + (у1 - у2)²),

и найдем длины всех сторон данного треугольника: 

|AB| = √((1 - 0)² + (0 - 4)²) = √(1² + 4²)  = √(1 + 16) = √17;

|BC| = √((0 - 3)² + (4 - 3)²)  = √(3² + 1²) = √(9 + 1) = √10.

|AC| = √((1 - 3)² + (0 - 3)²)  = √(2² + 3²) = √(4 + 9) = √13.

Для вычисления площади треугольника по трем сторонам этого треугольника воспользуемся известной формулой Герона:

S = √(р * (р - а) * (р - b) * (p - c)),

где а, b и с — длины сторон этого треугольника, а р — полупериметр этого треугольника, равный р = (а + b + с) / 2.

Находим полупериметр треугольника ABC:

р = (|AB| + |BC| + |AC|) / 2 = (√17 + √10 + √13) / 2.

Находим площадь треугольника ABC:

S = √(р * (р - |AB|) * (р - |BC|) * (p - |AC|)) = √((√17 + √10 + √13) / 2) * ((√10 + √13 - √17) / 2) * ((√17 + √13 - √10) / 2) * ((√10 + √17 - √13) / 2))  = √((√17 + √10 + √13) * (√10 + √13 - √17) * (√17 + √13 - √10) * (√10 + √17 - √13)) / 4.

Ответ: площадь данного треугольника составляет √((√17 + √10 + √13) * (√10 + √13 - √17) * (√17 + √13 - √10) * (√10 + √17 - √13)) / 4.