В параллелограмме abcd высоты df и de равны. Докажите, что abcd — ромб.

Возьмем параллелограмм ABCD, в котором:

AD || BC и |AD| = |BC|;

AB || CD и |AB| = |CD|;

Из вершины D проведем высоту DF к стороне AB и высоту DE к стороне BC, а из вершины B высоту BK к стороне AD. В параллелограмме:

|BK| = |DE|;

В треугольнике AFD:

|DF| = |AD| * sin(∠ А);

В треугольнике AKB:

|BK| = |AB| * sin(∠ А)

По условию задачи:

|BK| = |DE| = |DF|;

Получаем:

|AD| * sin(∠ А) = |AB| * sin(∠ А);

|AD| = |AB|;

Это означает, что все стороны параллелограмма равны и, следовательно, ABCD – это ромб.