Найдите натуральное число N, для которого N+37 и N-46 - полные квадраты.

Найдем натуральное число N, для которого N + 37 и N - 46 - полные квадраты. 

(N + 37) ^ 2 = (N - 46) ^ 2; 

N ^ 2 + 2 * N * 37 + 37 ^ 2  = N ^ 2 - 2 * N * 46 + 46 ^ 2; 

N ^ 2  + 74 * N + 1369 = N ^ 2 - 92 * N + 2116; 

74 * N  + 1369 = - 92 * N + 2116; 

Известные значения переносим на одну сторону, а неизвестные на другую сторону. При переносе значений, их знаки меняются на противоположный знак. То есть получаем: 

74 * N + 92 * N = 2116 - 1369; 

N * (74 + 92) = 747; 

N * 166 = 747;

N = 747/166;

N  = 4.5; 

Ответ: N = 4.5.