Решите уравнение: 1/х(х-2) + 2/(х-1)^2 =2

Решим уравнение:

1 / х (х - 2) + 2 / (х - 1)² = 2.

Перенесем все в левую часть:

1 / х (х - 2) + 2 / (х - 1)² – 2 = 0.

Упростим выражение в левой части:

приведем дроби к общему знаменателю: х (х - 2) (х - 1)²:

дополнительный множитель для первой дроби: (х - 1)²,

дополнительный множитель для второй дроби: х (х - 2),

дополнительный множитель для третьего слагаемого: х (х - 2) (х - 1)².

Получим:

((х - 1)² + 2х (х - 2) - 2 х (х - 2) (х - 1)²) / х (х - 2) (х - 1)² = 0.

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

(х - 1)² + 2х (х - 2) - 2х (х - 2) (х - 1)² = 0,

(х² – 2х + 1) + 2 (х² – 2х) – 2 (х² – 2х) (х² – 2х + 1) = 0.

Для удобства произведем замену переменных: у = х² - 2х, получим:

(у + 1) + 2у – 2у (у + 1) = 0,

раскроем скобки:

у + 1 + 2у – 2у² – 2у = 0,

-2у² + у + 1 = 0,

2у² – у – 1 = 0.

(2у + 1) (у – 1) = 0,

у₁ = -0,5,

у₂ = 1.

Вернемся к исходным переменным:

х² - 2х = -0,5,

х² - 2х = 1.

Решим первое уравнение:

х² - 2х = -0,5,

х² - 2х + 0,5 = 0,

2х² - 4х + 1 = 0,

D = 16 – 4 * 2 = 8,

х₁ = (4 - 2√2) / 4 = 1 - √2/2,

х₂ = (4 + 2√2) / 4 = 1 + √2/2.

Решим второе уравнение:

х² - 2х = 1,

х² - 2х – 1 = 0,

D = 4 + 4 = 8,

х₃ = (2 - 2√2) / 2 = 1 - √2,

х₄ = (2 + 2√2) / 2 = 1 + √2.

Знаменатель не равен нулю при х ≠ 0, х ≠ 1, х ≠ 2.

Ответ: 1 - √2/2, 1 + √2/2, 1 - √2, 1 + √2.