Диагональ основания правильной 4-х угольной пирамиды в 2 раза больше высоты боковой грани, проведённой к стороне основания

Для решения рассмотрим рисунок (http://bit.ly/2BP7Upr).

Пусть длина высоты КМ равна Х см, тогда длина диагонали ВД, по условии, равна 2 * Х см.

Проведем высоту КН боковой грани АВК, тогда наш искомый угол есть НКМ.

Треугольник НКМ равнобедренный, тогда его высота КО есть биссектриса и медиана треугольника, а угол КОМ = НКМ / 2.

В прямоугольном треугольнике КОМ синус угол КОМ равен: SinКОМ = ОМ / КМ.

Угол АДС прямой, а ВД делит его пополам, тогда треугольник ОДМ прямоугольный и равнобедренный, ОМ = МД, а ОД = ВД / 2 = 2 * Х / 2 = Х см.

Тогда ОМ = ОД * Sin45 = Х * √2 / 2 см.

SinКОМ = ОМ / КМ = (Х * √2 / 2) / 2 = √2 / 2.

Угол КОМ = arcsin(√2 / 2) = 45⁰.

Тогда угол НКМ = 2 * КОМ = 2 * 45 = 90⁰.

Ответ: Угол равен 90⁰.