Существует ли такое натуральное число, что произведение суммы его цифр на их количество равно 2010?

Прежде рассмотрим число 2010, так как рассматривается это число, как произведение чисел.

2010 = 2 * 1005 = 2 * 3 * 335 = 2 * 3 * 5 * 67.

Значит, число 2010 множителями имеет 4 простых числа 2, 3, 5 и  67.

Представим b1,b2..bn как эти числа. Тогда:

(b1 + b2 +... + bn) * (b1 * b2 * ...* bn) = 2010 = 2 * 3 * 5 * 67.

Число 67 не может быть  произведением, а только суммой, причём многие числа равны 1, и только 3 числа равны 2, 3, и 5.

Тогда число b1b2...bn такое: 11111111...235.

Число единиц равно 67 - (2 + 3 + 5) = 67 - 10 = 57.

То есть таких чисел с 57 единицами и тремя цифрами 2,3,5 очень много, смотря где будут эти числа 2,3,5.

111..11235; 111..11532; 11..11253...и так далее, главное такие числа существуют.