Найти угол между векторами a = m + n и b = m - n, если |m| = 2, |n| = 1 и угол между m и n равен 60°.

Решение.

Пусть φ - угол между векторами a и b;φ1 - угол между векторами m и n; cos φ1 = 1/2. 

cos φ = (a∙b)/(|a|∙|b|);

Скалярное произведение:

a∙b = (m + n)∙(m - n) = m^2 - n^2 = 4 - 1 = 3;

Длины векторов: 

|a| = sqrt (a^2) = sqrt ((m + n)^2) = sqrt (m^2 + 2m∙n + n^2) = sqrt (4 + 2∙2∙1∙cos (φ1) + 1) = sqrt (7);

|b| = sqrt (b^2) = sqrt ((m - n)^2) = sqrt (m^2 - 2m∙n + n^2) = sqrt (4 - 2∙2∙1∙cos (φ1) + 1) = sqrt (3);

Тогда cos φ = 3/ (sqrt (7)*sqrt (3)) = 3/sqrt (21)=0,65; 

φ ≈ 50.

Ответ. φ ≈ 50.