Доказать, что при любом n (N) справедливо тождество: 1+7/3+13/9+...+(6n-5)/(3^(n-1))=(2*3^n-3n-2)/(3^(n-1))

1) По методу индукции докажем равенство при n = 2:

1 + 7/3  = (2 * 3^2 - 3 * 2 - 2)/3^1; 10/3 = (18 - 6 - 2)/3; 20/3 = 20/3, доказано.

2) Пусть равенство справедливо при п = к, тогда справедливо при любых п:

1 + 7/3 + 13/9 + ... + (6к - 5)/(3^(к - 1) = (2*3^к - 3к - 2)/[3^(к - 1]. (1)

3) Докажем, что равенство справедливо при п = к + 1, получим:

1 + 7/3 + 13/9 + ... + (6к +1)/(3^(к )] = (2*3^(к + 1) - 3(к + 1) - 2)/[3^(к)]. (2) Для доказательства вычтем (2) - (1) получим равенство.

(-2 * 3^n + 3 * 3n + 6 + 6 * 3^n - 3n - 5)/3^n = 6n + 1/3^n, получили тождество, значит, равенство (2) справедливо.