какие размеры должен иметь цилиндр,площадь полной поверхности которого 96 Pi см ^2 ,чтобы его объем был наибольшим?

Sпол = 96 *П см^2.

r - ?

h - ?

Площадь полной поверхности цилиндра Sпол определяется формулой: Sпол = 2 *П *r^2 +  2 *П *r *h, где П - числа пи, r - радиус основания цилиндра, h - высота цилиндра.

П *r *h = Sпол/2 - П *r^2.

Объем цилиндра определяется формулой: V =  П *r^2 *h.

V =  П *r^2 *h = П *r *h *r = (Sпол/2 - П *r^2) *r = Sпол *r/2 - П *r^3.

V = 48 *П *r - П *r^3.

Найдём производную и приравняем её к нулю: V\"(r) = (48 *П *r - П *r^3)\" = 48 *П - 3 *П *r^2. 

48 *П - 3 *П *r^2 = 0.

48 =  3 *r^2.

r^2 = 16.

r1,2 = ± 4.

Радиус не может быть отрицательным, поэтому r = 4 см.

h = (Sпол - 2 *П *r^2) /2 *П *r.

h = (96 *П - 2 *П *16) /2 *П *4 = 8 см.

Ответ: при r = 4 см и h = 8 см объем цилиндра будет максимальным.