Исследовать функцию F(x)= 1/4*x^4-3/2*x^2

f(x) = 1/4 * x^4 - 3/2 * x^2.

1. Найдем область определения и область значений.

D(f) = R, х любое число;

E(f) = R, у любое число.

2. Нули функции. Найдем точки пересечения графика с осью х.

у = 0; 1/4 * x^4 - 3/2 * x^2 = 0.

х^2(1/4 * x^2 - 3/2) = 0;

х^2 = 0; x = 0.

И 1/4 * x^2 - 3/2 = 0; 1/4 * x^2 = 3/2; x^2 = 3/2 : 1/4 = 3/2 * 4/1 = 6; х = -√6 и √6.

График функции пересекает ось х в точках -√6, 0 и √6.

3. Определим четность функции.

f(x) = 1/4 * x^4 - 3/2 * x^2;

f(- x) = 1/4 * (-x)^4 - 3/2 * (-x)^2 = 1/4 * x^4 - 3/2 * x^2.

f(x) равно f(- x), значит функция четная.

4. Определим промежутки знакопостоянства.

График пересекает ось х в точках -√6, 0 и √6 и делит ее на 4 промежутка:

(-∞; -√6) пусть х = -3; у = 1/4 * (-3)^4 - 3/2 * (-3)^2 = 27/2, у > 0.

(-√6; 0) пусть х = -1; у = 1/4 * (-1)^4 - 3/2 * (-1)^2 = -5/6, у < 0.

(0; √6) пусть х = 1; у = 1/4 * 1^4 - 3/2 * 1^2 = -5/6, у < 0.

(√6; +∞) пусть х = 3; у = 1/4 * (-3)^4 - 3/2 * (-3)^2 = 27/2, у > 0.

5. Промежутки возрастания и убывания функции.

Найдем производную функции.

f(x) = 1/4 * x^4 - 3/2 * x^2;

f`(x) = х^3 - 3x.

Приравняем производную к нулю.

f`(x) = 0; х^3 - 3x = 0.

х(х^2 - 3) = 0;

х = 0;

х^2 = 3; х = -√3 и х = √3.

(-∞; -√3) пусть х = -2: f`(x) = (-2)^3 - 3 * (-2) = -8 + 6 = -2. Производная отрицательна, значит функция убывает.

(-√3; 0) пусть х = -1; f`(x) = (-1)^3 - 3 * (-1) = -1 + 3 = 2. Производная положительна, значит функция возрастает.

(0; √3) пусть х = 1; f`(x) = 1^3 - 3 * 1 = 1 - 3 = -2. Производная отрицательна, значит функция убывает.

(√3; +∞) пусть х = 2; f`(x) = 2^3 - 3 * 2 = 8 - 6 = 2. Производная положительна, значит функция возрастает.

Точка х = 0 является точкой максимума функции.

Точки -√3 и √3 являются точками минимума.