Плоскость Параллельная плоскости основания правильной четырехугольной пирамиды делит высоту пирамиды в отношении 1 деленное

Для решения задачи рассмотрим рисунок.

Рассмотрим треугольники КОМ и КО₁N, у которых угол М общий, а ОК || О₁N, следовательно, эти треугольники подобны. Так как ОО₁ / О1М = 2 / 1, то OK / O₁N = AD / A₁D₁ = 3 / 1.

Пусть A₁D₁ = Х, тогда AD = 3 * Х.

Тогда площадь поверхности сечения S_A1B1C1D1 = X², а площадь основания S_ABCD = 9 * X².

Найдем площадь боковой поверхности усеченной пирамиды.

S_бок = 1 / 2 * (Р_A1B1C1D + Р_ABCD) * KN = 1 / 2 * (4 * X + 12 * X) * 4 = 32 * X.

Тогда общая площадь боковой поверхности усеченной пирамиды равна:

S = S_бок + S_A1B1C1D1 + S_ABCD = 32 * X + X² + 9 * X² = 186.

10 * X² + 32 * X – 186 = 0.

5 * X² + 16 * X – 93 = 0.

Решим квадратное уравнение.

D = b² – 4 * a * c = 16² – 4 * 5 * (-93) = 256 + 1860 = 2116.

Х₁ = (-16 – √2116) / (2 * 5) = (-16 – 46) / 10 = -62 / 10 = -6,2. (Не подходит, так как < 0).

Х₂ = (-16 + √2116) / (2 * 5) = (-16 + 46) / 10 = 30 / 10 = 3.

A₁D₁ = 3, тогда AD = 3 * 3 = 9.

Тогда:  О₁N = 1,5.

ОК = 4,5.

Рассмотрим прямоугольный треугольник NFK, у которого NK = 4, KF = OK - О₁N = 4,5 – 1,5 = 3 дм.

Тогда по теореме Пифагора NF² = NK² – KF² = 16 – 9 = 7.

OO₁ = NF = √7 дм.

Ответ: Высота усеченной пирамиды равна √7 дм.