(х^2-х+1)(х^2-х-7)=65

(х² - х + 1) * (х² - х - 7) = 65;

(х² - х + 1) * (х² - х + 1 – 8) = 65.

Выполним замену:

х² - х + 1 = a.

Таким образом:

a * (a – 8) = 65.

1. Решим полученное уравнение:

a * a + a * (- 8) = 65;

a² - 8 * a = 65;

a² - 8 * a – 65 = 0.

Дискриминант:

D = (- 8)² - 4 * 1 * (- 65) = 64 + 260 = 324.

Найдем корни:

a₁ = (- (- 8) + √324)/(2 * 1) = (8 + 18)/2 = 26/2 = 13.

a₂ = (- (- 8) - √324)/(2 * 1) = (8 – 18)/2 = - 10/2 = - 5.

1. Найдем значения x.

2.1. х² - х + 1 = a₁;

х² - х + 1 = 13;

х² - х + 1 – 13 = 0;

х² - х - 12 = 0.

D = (- 1)² - 4 * 1 * (- 12) = 1 + 48 = 49.

Найдем корни:

х₁ = (- (- 1) + √49)/(2 * 1) = (1 + 7)/2 = 8/2 = 4.

х₂ = (- (- 1) - √49)/(2 * 1) = (1 – 7)/2 = - 6/2 = -3.

2.2. х² - х + 1 = a₂;

х² - х + 1 = - 5;

х² - х + 1 + 5 = 0;

х² - х + 6 = 0.

D = (- 1)² - 4 * 1 * 6= 1 - 24 = - 23.

Так как дискриминант меньше 0, то уравнение имеет бесконечное множество решений.

Ответ: х₁ = 4, х₂ = -3.