Найти все положительные целые числа n при которых оба числа n и n+2011 являются квадратами некоторых целых чисел

   1. Пусть числа n и n + 2011 являются квадратами целых чисел a и b:

• a^2 = n; (1)
• b^2 = n + 2011. (2)

   2. Вычтем обе части уравнений (1) и (2) и используем формулу сокращенного умножения для разности квадратов двух величин:

• b^2 - a^2 = 2011;
• |b|^2 - |a|^2 = 2011;
• (|b| + |a|)(|b| - |a|) = 2011. (3)

   3. Поскольку число 2011 - простое, а |а| и |b| - неотрицательные целые числа, то уравнение (3) имеет единственное решение:

• {|b| + |a| = 2011;{|b| - |a| = 1;
• {2|b| = 2012;{2|a| = 2010;
• {|b| = 1006;{|a| = 1005.

      n = a^2 = |a|^2 = 1005^2 = 1 010 025.

   Ответ: 1 010 025.