В треугольнике с вершинами A(4;-14;8), В (2;-18;12), С(12;-8;12). найти длину высоты, опущенной из вершины С на сторону

Найдем длины сторон треугольника:

a =|AB| = √(2^2 + 4^2 + (-4)^2) =√36 = 6

b= |BC| = √(10^2 + (-10)^2 +0) = 10 * √2

c = |AC| = √((-8)^2 + (-6)^2 + (-4)^2) =√116 = 2 √29

Обозначим точку пересечения высоты со стороной |AB| через M

Тогда по теореме Пифагора:

СМ^2 + AM^2 = AC^2

CM^2 + MB^2 = CB^2

 Обозначим высоту CM через h, |AM| через x. Получим систему уравнений:

x^2 + h^2 = (2√29)^2

h^2 + (x - 6)^2 =(10√2)^2

x = √116 - h^2 

Подставим во -ое:

h^2 + (√(116 - h^2))^2 =116 

h = 8√2

Ответ:  высота 8√2.