Внутри равностороннего треугольника поместили точку М, которая находится соответственно на расстояниях 3 см., 4 см. и

http://bit.ly/2haBeA3

Дано:

DАВС

АВ=ВС=АС

т.М лежит внутри DАВС

АМ = 3 см

ВМ = 5 см

СМ = 4 см

Найти: АВ

Решение:

Пусть АВ = ВС = АС = х

Теорема косинусов: Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

 В DАСМ по теореме косинусов найдем ∠АСМ:

АМ² = АС² + МС² – 2 × АС × МС × cos∠АСМ

3² = х² + 4² – 2 × х × 4 × cos∠АСМ

9 = х² + 16 – 8х × cos∠АСМ

cos∠АСМ = (х² + 7) / 8х

 В DВСМ по теореме косинусов найдем ∠АСМ:

ВМ² = ВС² + МС² – 2 × ВС × МС × cos∠АСМ

5² = х² + 4² – 2 × х × 4 × cos∠АСМ

25 = х² + 16 – 8х × cos∠АСМ

cos∠АСМ = (х² – 9) / 8х

Так как DАВС – равносторонний, то ∠АСВ = ∠АСМ + ∠ВСМ = 60˚ = π/3

Пусть cos∠АСМ = cos φ₁, cos∠АСМ = cos φ₂

Таким образом http://bit.ly/2iXMGzc 

Оставляя в правой части только синус и возводя в квадрат, получаем http://bit.ly/2gZWJ2Q

Упрощаем выражение и получаем http://bit.ly/2lHVuKC

Теперь подставляем значения косинусов в это уравнение, получая

(x² + 7)² + (x² - 9)² − (x² + 16)(x² + 9)=34 ⋅ 84x²

Получается биквадратное уравнение

x⁴ − 50x² + 193 = 0, из которого http://bit.ly/2iryif1.

Одно из значений отбрасывается, так как из неравенства треугольника легко выводится, что 

2x = AB + AC > PB + PC = 9.

Следовательно, x² > 81 / 4 > 20, и поэтому знака \"минус\" перед корнем здесь быть не может. Таким образом, http://bit.ly/2gYsYPR

 Ответ: Длина стороны  треугольника DАВС равна