Учащийся, занявший первое место, набрал в 5 раз меньше баллов, (целые числа) чем все остальные учащиеся вместе взятые.

Пусть Z – сумма баллов, которую набрали все ученики, а N –число учеников;

A₁ – сумма, которую набрал ученик, занявший первое место;

A₃ – сумма, которую набрал ученик, занявший третье место;

A_N – сумма, которую набрал ученик, занявший последнее место;

5A₁ = Z - A₁; 6A₁ = Z;

9A₁ = Z - A₃; 10A₃ = Z;

10A_N = Z - A_N; 11A_N = Z;

Из этого следует, что сумма Z кратна 6, 10 и 11. Минимальная сумма, имеющая такие множители равна 330;

Проверим.

Z = 330;  A₁ = 330 / 6 = 55; A₃ = 330 / 10 = 33; A_N= 330 / 11 = 30;

Сумма остальных учеников равна 330 – 55 – 33 – 30 = 212; Между 33 и 30 могут быть результаты только двух учеников 31 и 32, а между первым и третьим местами – только второе место;

212 – 31 – 32 = 149; 149 больше 55, поэтому не может быть вторым результатом, следовательно, Z не равно 330;

Следующее число, кратное 6, 10 и 11, равно 660;

Z = 660;  A₁ = 660 / 6 = 110; A₃ = 660 / 10 = 66; A_N= 660 / 11 = 60;

Сумма остальных учеников равна 660 – 110 – 66 – 60 = 424; Между 66 и 60 могут быть результаты только пяти учеников 61, 62, 63, 64 и 65,  424 – 61 – 62 – 63 – 64 - -65 = 109; 109 меньше 110 и больше 66, значит, контрольную написали 9 учеников с результатами 110, 109, 66, 65, 64, 63, 62, 61, 60.

Ответ: 9 учеников (решение при условии, что все ученики набрали разное количество баллов).