Упростите выражение cos2xcos12x+sin2x sin12x=cos10x

Решение:

1) Рассмотрим cos 12x:

cos 12x = cos (10x + 2x) = cos 10x * cos 2x – sin 10x * sin 2x =

2) Тогда cos 2x * cos 12x:

cos 2x * cos 12x = cos 2x * cos (10x + 2x) = cos 2x * (cos 10x * cos 2x – sin 10x * sin 2x) = cos 10x * cos² 2x – sin 10x * sin 2x * cos 2x =

3) Рассмотрим sin 12x:

sin 12x = sin (10x + 2x) = sin 10x * cos2x + sin 2x * cos 10x

4) Тогда sin 2x * sin 12x:

sin 2x * sin 12x = sin 2x * sin (10x + 2x) = sin 2x * (sin 10x * cos2x + sin 2x * cos 10x) = sin 10x * cos2x * sin 2x + sin² 2x * cos 10x

5) Таким образом:

cos 2x * cos 12x + sin 2x * sin 12x = cos 10x * cos² 2x – sin 10x * sin 2x * cos 2x + sin 10x * cos2x * sin 2x + sin² 2x * cos 10x = cos 10x * (cos² 2x + sin² 2x) = cos 10x * 1 = cos 10x

 Что и требовалось доказать.