Исследуйте функцию у=(х+1)^3-3(х+1)

у (x) = (х + 1)³ - 3(х + 1).

1. Область определения: вся числовая прямая.
2. Найдем производную функции:

у’ (x) = ((х + 1)³ - 3(х + 1))’ = 3(х + 1)²  - 3.

у’ (x) = 0:

3(х + 1)²  - 3 = 0,

(х + 1)²  - 1  = 0,

(х + 1 – 1) (х + 1 + 1) = 0,

х (х + 2) = 0,

х₁ = 0,

х₂ = -2.

При х < -2, у’ (х) > 0, значит, функция возрастает.

При -2 < х < 0, у’ (х) < 0, значит, функция убывает.

При х > 0, у’ (х) > 0, значит, функция возрастает.

Точка х = -2 – точка максимума, y (-2) = 2.

Точка х = 0 – точка минимума, y (0) = -2.

1. Найдем вторую производную:

у’’ (x) = (3(х + 1)²  - 3)’ = 6(х + 1).

у’’ (x) = 0:

6(х + 1) = 0,

х + 1 = 0,

х = -1.

При х < -1, у’’ (х) > 0, значит, функция выпукла вверх.

При х > -1, у’’ (х) > 0, значит, функция выпукла вниз (вогнута).

1. Асимптот нет.
2. Точек разрыва нет.
3. у (-x) = (-х + 1)³ - 3(-х + 1) = (1 - х)³ + 3 (х – 1).

функция общего вида.

1. График: http://bit.ly/2z0ro8p