Докажите неравенство 4x^2-4xy+2y2+12y+37 больше 0

4х² - 4ху + 2у² + 12у + 37 > 0.

Рассмотрим левую часть неравенства:

сгруппируем слагаемые

4х² - 4ху + 2у² + 12у + 37 = (4х² - 4ху + у²) + (у² + 12у + 37) = (2х – у)² + (у² + 12у + 37).

(2х – у)² > 0,  при всех х кроме у = 2х.

у² + 12у + 37 > 0, т.к. D = 144 – 4 * 37 = -4 < 0.

Тогда:

(2х – у)² + (у² + 12у + 37) > 0 при всех х и у.

4х² - 4ху + 2у² + 12у + 37 > 0 при всех х и у.