Докажите, что если натуральные числа m и n взаимно простые, то наибольший общий делитель чисел m+n і m^2+n^2 равен 1

   1. Предположим, числа a = m + n и b = m^2 + n^2 имеют общий делитель p:

• m + n ≡ 0 (mod p); (1)
• m^2 + n^2 = 0 (mod p). (2)

   2. Возведем в квадрат сравнение (1):

• (m + n)^2 ≡ 0 (mod p);
• m^2 + 2mn + n^2 ≡ 0 (mod p);
• 2mn ≡ 0 (mod p).

   3. Поскольку m и n взаимно простые, то одно из чисел m и n делится на p, если p простое число больше 2:

• m ≡ 0 (mod p) или
• n ≡ 0 (mod p).

   Из сравнения (1) следует, что для второго числа также верно это сравнение, но тогда числа m и n не будут взаимно простыми.    4. Остается проверять для значения p = 4. Из сравнения 2mn ≡ 0 (mod 4) получим, что одно из чисел четное, значит, второе также должно быть четным.

   Таким образом, числа a и b не имеют общий простой множитель больше 2, и не имеют общий множитель 4, следовательно:

      НОД(a, b) = 1 или НОД(a, b) = 2.

   Утверждение доказано.