Докажите справедливость неравенства а) х^2+y^2-6x+4y+13>0 б) х^4+13х^2-6х+6>0 в) x^2+3> корень из x^4+6x^2+8

1. х² + у² – 6х + 4у + 13 > 0.

Рассмотрим левую часть неравенства:

сгруппируем слагаемые

х² + у² – 6х + 4у + 13 = (х² – 6х + 9) + (у² + 4у + 4) = (х – 3)² + (у + 2)².

(х – 3)² > 0,  при всех х кроме х = 3.

(у + 2)² > 0,  при всех у кроме у = -2.

(х – 3)² + (у + 2)² > 0 для всех точек кроме (3; -2).

1. х⁴ + 13х² – 6х + 6 > 0.

Рассмотрим левую часть неравенства:

сгруппируем слагаемые

(х⁴) + (13х² – 6х + 6).

13х² – 6х + 6 > 0, т.к. D = 36 – 4 * 13 * 6 < 0.

х⁴ > 0.

Тогда:

(х⁴) + (13х² – 6х + 6) > 0 при всех х.

1. х² + 3 > √ (х⁴ + 6х² + 8),

х² + 3 > √ (х⁴ + 6х² + 9 - 1),

х² + 3 > √ ((х² + 3)² - 1),

т.к. х² + 3 > 0, то возведем обе части в квадрат:

(х² + 3)² > (х² + 3)² – 1,

(х² + 3)² - (х² + 3)² > -1,

0 > -1.

Значит: х² + 3 > √ (х⁴ + 6х² + 8) при всех х.