В квадрате Abcd на серединах сторорон BC и CD поставили точки M и N, которые сойденены с вершиной А. Найти угол МАN

Пусть сторона квадрата равна а.

Из прямоугольного треугольника CMN по теореме Пифагора найдем MN.

(МN)^2 = (a/2)^2 + (a/2)^2 = 2 * (a^2)/4 = (a^2)/2.

Так как MAN равнобедренный треугольник, то АМ = AN = x.

Из прямоугольного треугольника BAM по теореме Пифагора:

(АМ)^2 = x^2 = a^2 + (a/2)^2 = 5 * (a^2)/4.

Из равнобедренного треугольника MAN по теорем косинусов:

(MN)^2 = (x)^2 + (x)^2 – 2 * (x)^2 * cos(MAN).

Тогда,

cos(MAN) = (2 * (x)^2 - (MN)^2)/(2 * (x)^2) = (2 * 5 * (a^2)/4 - (a^2)/2)/(2 * 5 * (a^2)/4 =

= (10 * a^2 – 2 * a^2)/(10 * a^2) = 8/10 = 0.8.

Следовательно, по таблице Брадиса угол МАN = arcos(0.8) = 36º12′.