Известно, что число -1 является одним из корней уровнения х^3-x^2+ax-2=0. Найдите остальные корни уравнения

Т.к. х = -1 является корнем уравнения х³ - x² + ax – 2 = 0, то при подстановке этого значения в уравнение получим верное равенство:

(-1)³ - (-1)² – а – 2 = 0,

-1 – 1 – а – 2 = 0,

-4 – а = 0,

а = -4.

Подставим а = -4 в уравнение:

х³ - x² - 4x – 2 = 0.

Т.к. один из корней уравнения х = -1, то при разложении на множители одним из множителей будет (х + 1), т.е при разложении на множители получим:

х³ - x² - 4x – 2 = (х + 1) (kx² + bx + c), где k, b и с – числа.

Чтобы найти эти числа, раскроем скобки:

(х + 1) (kx² + bx + c) = kx³ + bx² + cх + kx² + bx + c = kx³ + (b + k)x² + (b + c)x + c.

Т.к. kx³ + (b + k)x² + (b + c)x + c = х³ - x² - 4x – 2, поэтому приравняем коэффициенты при переменных:

х³: k = 1;

х²: b + k = -1;

x¹: b + c = -4;

х⁰: с = -2.

Получим: k = 1, с = -2, b = -2.

Разложение на множители примет вид:

х³ - x² - 4x – 2 = (х + 1) (x² - 2x - 2).

(х + 1) (x² - 2x - 2) = 0.

Найдем корни уравнения x² - 2x – 2 = 0:

дискриминант D = 4 + 2 * 2 = 8.

х₁ = (2 + √8) / 2 = (2 + 2√2) / 2 = 1 + √2.

х₂ = (2 - √8) / 2 = (2 - 2√2) / 2 = 1 - √2.

Таким образом, уравнение х³ - x² - 4x – 2 = 0 имеет три корня: -1; 1 + √2; 1 - √2.

Ответ: 1 + √2; 1 - √2.