Найти производные у " у' и у"' следущих функций у=(1+х) * аrtgx

Поскольку производная от функции аrtg(x) равна 1 / (1 + х²), то используя формулу производной от произведения двух функций можем записать:

у\' = ((1 + х) * аrtg(x))\' = (1 + х)\' * аrtg(x) + (1 + х) * аrtg\'(x) =  аrtg(x) +  (1 + х) / (1 + х²);

у\'\' = (аrtg(x) +  (1 + х) / (1 + х²))\' = аrtg\'(x) + ((1 + х) / (1 + х²))\' = 1 / (1 + х²) + ((1 + х)\' * (1 + х²) - (1 + х) * (1 + х²)\') / (1 + х²)² = 1 / (1 + х²) + ((1 + х²) - (1 + х) * 2х) / (1 + х²)² = 1 / (1 + х²) + (1 - 2х - х²) / (1 + х²)² = 1 / (1 + х²) + (1 - 2х - х²) / (1 + х²)² = (1 + х²) / (1 + х²)² + (1 - 2х - х²) / (1 + х²)² = (1 + х² + 1 - 2х - х²) / (1 + х²)² =  (2 - 2х) / (1 + х²)².

y\'\'\' = ((2 - 2х) / (1 + х²)²)\' = 2 * ((1 - х) / (1 + х²)²)\' = 2 * ((1 - х)\' *  (1 + х²)²  - (1 - х) * ((1 + х²)² )\') / (1 + х²)⁴ = 2 * (- (1 + х²)²  - (1 - х) * 2 * (1 + х²) * 2x)  / (1 + х²)⁴ = 2 * (1 + х²) * ( -1 - х²  - (1 - х) * 4x) / (1 + х²)⁴  = 2 * ( -1 - х²  - 4x + 4x²) / (1 + х²)³ = 2 * (3х²  - 4x - 1) / (1 + х²)³.

Ответ: 

у\' = аrtg(x) +  (1 + х) / (1 + х²); 

у\'\' = (2 - 2х) / (1 + х²)²;

y\'\'\' = (6х²  - 8x - 2) / (1 + х²)³.