На каком отрезке функция y=2^x принимает наибольшее значение равное 32 и наименьшее равное 1/2

Решение задачи.

1. Исследуем функцию у(х) = 2^x на критические точки и монотонность. Для этого найдем производную функции у(х).

y\'(x) =  2^x * ln 2. 

2^x > 0 для любого х. ln 2 >0. Следовательно, производная функции у(х) существует и больше нуля для любого х. Соответственно, функция у(х) не имеет критических точек и возрастает на всем числовом промежутке. 

2. Из свойств функции у(х) вытекает, что наибольшее значение функция принимает в крайней правой точке отрезка, а наименьшее - в крайней левой точке отрезка.

3. Определим крайние точки отрезка.

2^x = 32;

x = 5 - крайняя правая точка отрезка.

2^x = 1/2;

x = -1 - крайняя левая точка отрезка.

Ответ. Наибольшее значение, равное 32 и наименьшее значение, равное 1/2, функция у = 2^х принимает на отрезке [-1; 5].