При каком значении m сумма квадратов корней уравнения x2-5mx + 4m2 = 0 равна 68?

Попробуем решить эту задачу от обратного.

Рассмотрим, все квадраты целых чисел, которые меньше 68:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64.

Из этого ряда чисел, только два дают в сумме 68:

4 + 64 = 68 или 2² + 8² = 68.

Следовательно корнями данного уравнения являются х = 2 и х = 8.

Тогда наше уравнение можно записать следующим образом:

(х - 2) * (х - 8) = 0,

х² - 8 * х - 2 * х + 16 = 0,

х² - 10 * х + 16 = 0.

По условию задачи наше уравнение имеет вид: х² - 5 * m * x + 4 * m², получаем

4 * m² = 16,

m² = 4,

m = 2  ил m = -2.

Проверим данное значение для коэффициента второго члена уравнения:

-10 = - 5 * m,

m = 2.

Значит задача имеет единственное решение m = 2.